10. Sınıf Üçgende Kenarortay Ders Notları
1. Kenarortay Tanımı
Kenarortay, bir üçgende bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Her üçgende üç kenarortay vardır ve bunlar ağırlık merkezinde birleşir. Kenarortay, üçgenin simetrisini ve dengesini analiz etmede kullanılır.
Örnek: ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası D ise AD kenarortaydır. Eğer BC = 10 cm ise BD = DC = 5 cm.
2. Ağırlık Merkezi ve Özellikleri
Ağırlık merkezi (centroid), üçgenin üç kenarortayının kesişim noktasıdır. Özellikleri:
- Her kenarortayı 2:1 oranında böler (köşeden merkeze 2/3, merkezden orta noktaya 1/3).
- Üçgenin alanını eşit üç parçaya böler.
Hatırlatma: Ağırlık merkezi, üçgenin dengede durduğu noktadır ve fizikte kütle merkezi olarak da bilinir.
Örnek: Köşeleri A, B, C olan üçgende ağırlık merkezi G'dir. AG, BG, CG kenarortayları G'de birleşir ve her biri 2:1 oranında bölünür.
3. Dik Üçgende Kenarortay
Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Genel formül (Apollonius teoremi): Bir kenarortayın uzunluğu m_a = √(2b² + 2c² - a²), dik üçgende hipotenüse için m_c = c/2. Ayrıca, 90° köşesinden çizilen kenarortay, böldüğü parçalara eşit olur (muhteşem üçlü olarak bilinen 3-4-5 gibi örneklerde görülür).
Örnek: Dik üçgen ABC'de ∠A=90°, AB=3, AC=4, BC=5 (muhteşem üçlü). BC'ye çizilen kenarortay uzunluğu: m_a = 5/2 = 2.5 cm.
4. Kenarortay Alan İlişkisi
Bir kenarortay, üçgeni iki eşit alanlı üçgene böler çünkü karşı kenarı orta noktada keser. Her iki küçük üçgenin alanı, orijinal üçgenin alanının yarısıdır. Ağırlık merkeziyle ilişkili olarak, kenarortaylar alanı eşit parçalara ayırır.
Hatırlatma: Alan eşitliği, taban aynı yükseklikte olduğundan gelir (taban yarıya iner ama yükseklik aynı kalır).
Örnek: ABC üçgeninin alanı 20 cm², BC=10 cm. A'dan M'ye (BC orta noktası) kenarortay çizilirse, ABM ve ACM üçgenlerinin her birinin alanı 10 cm²'dir.
Sayfa:
Matematik