Üçgende Açıortay 10. Sınıf

10. Sınıf Üçgende Açıortay Ders Notları

1. Açıortay Tanımı

Üçgende açıortay, bir köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasıdır. Bir üçgende üç iç açıortay vardır ve bunlar içteş çemberin merkezinde (içteş noktada) birleşir.

Örnek: ABC üçgeninde A köşesinden çıkan açıortay BC kenarını D noktasında kesiyor. Eğer ∠BAD = ∠CAD ise AD açıortaydır.

2. Açıortayda Dikme ve Kollar

Açıortay üzerindeki herhangi bir nokta, açının iki kolundan eşit uzaklıktadır. Yani, açıortaydan açının kollarına inilen dikmeler eşit uzunluktadır. Bu özellik, açıortayın simetri özelliğinden kaynaklanır ve içteş çemberin merkezinin belirlenmesinde kullanılır.

Hatırlatma: Bu eşit uzaklık özelliği, aynaların yansıma prensibinde de kullanılır.

Örnek: Bir açıortay üzerinde bir nokta seçin. Bu noktadan açının iki koluna inilen dikmeler eşit uzunlukta olacaktır. Örneğin, içteş noktadan kenarlara inilen dikmeler yarıçap uzunluğundadır.

3. İç Açıortay Teoremi

İç açıortay teoremi: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu iki kenarın uzunlukları oranında böler. ABC üçgeninde A'dan çıkan açıortay BC'yi D'de keserse, $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$.

Örnek: ABC üçgeninde AB = 6 cm, AC = 8 cm, A açıortayı BC'yi D'de kesiyor. Eğer BC = 7 cm ise BD ve DC'yi bulunuz.
$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$
BD + DC = 7, 3k + 4k = 7, 7k = 7, k=1
BD = 3 cm, DC = 4 cm

4. Dış Açıortay Teoremi

Dış açıortay teoremi: Bir üçgende dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu iki kenarın uzunlukları oranında böler. ABC üçgeninde A'nın dış açısından çıkan açıortay BC'nin uzantısını D'de keserse, $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (D dışta olduğundan oran pozitif alınır).

Örnek: ABC üçgeninde AB = 5 cm, AC = 7 cm, A'nın dış açıortayı BC'nin uzantısını D'de kesiyor. Eğer BD = 10 cm ise DC'yi bulunuz.
$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{5}{7}$
$\frac{10}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{5}{7}$, DC = 10 × $\frac{7}{5}$ = 14 cm