Köklü İfadeler 9. Sınıf

9. Sınıf Köklü İfadeler Ders Notları

1. Köklü İfade Tanımı

Köklü ifade, bir sayının kökünü alma işlemidir. $\sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir, burada n kökün derecesi (kuvveti), a ise kök içindeki sayıdır. Derece belirtilmezse 2 kabul edilir (kare kök: $\sqrt{a}$). Köklü ifade, üslü ifadenin tersi olarak düşünülebilir: $\sqrt[n]{a^n}$ = a.

Örnek: $\sqrt{16}$ = 4 (çünkü 4² = 16)
$\sqrt[3]{27}$ = 3 (çünkü 3³ = 27)

2. Köklü İfade Tanım Aralığı

Gerçel sayılarda köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sayının (radikant) belirli koşulları sağlaması gerekir. Çift dereceli köklerde (n çift) kök içi ≥ 0 olmalıdır. Tek dereceli köklerde (n tek) kök içi herhangi bir gerçek sayı olabilir.

Hatırlatma: Negatif sayıların çift dereceli kökleri gerçel sayılarda tanımlı değildir, ancak karmaşık sayılarda mümkündür. Biz gerçel sayılarla çalışıyoruz.

Örnek: $\sqrt{9}$ tanımlıdır (9 ≥ 0), değer 3.
$\sqrt{-4}$ gerçel sayılarda tanımlı değildir.

3. Köklü İfade Tek Ve Çift Derece Farkı

Çift dereceli kökler (örneğin kare kök, dördüncü kök): Pozitif sonuç verir ve kök içi negatif olamaz. Sonuç her zaman mutlak değere benzer şekilde pozitiftir.
Tek dereceli kökler (örneğin küp kök, beşinci kök): Kök içi negatif olsa da tanımlıdır ve sonuç negatif olur.

Örnek: $\sqrt[3]{-8}$ = -2 (tek derece, tanımlı).
$\sqrt{-16}$ tanımlı değil (çift derece).

4. Köklü İfade Derece Genişletme ve Sadeleştirme

Derece genişletme: Kök derecesini büyütmek için kök içi uygun kuvvetle yükseltilir. Örneğin $\sqrt{a}$ = $\sqrt[4]{a^2}$.
Sadeleştirme: Kök içindeki tam kuvvetler dışarı çıkarılır. Örneğin $\sqrt{a^{2}b}$ = |a| $\sqrt{b}$ (çift derece için).

Örnek: Sadeleştirme: $\sqrt{18}$ = $\sqrt{9\times 2}$ = 3 $\sqrt{2}$
Genişletme: $\sqrt{5}$ = $\sqrt[4]{25}$

5. Köklü İfadelerde Toplama Çıkarma Çarpma Bölme

Toplama ve çıkarma: Aynı kök derecesi ve kök içi benzer ifadeler için katsayılar toplanır/çıkarılır.
Çarpma: $\sqrt[n]{a}$ × $\sqrt[n]{b}$ = $\text{exception 25:}$.
Bölme: $\sqrt[n]{a}$ ÷ $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Hatırlatma: Farklı kök derecelerinde işlem yapmak için dereceleri eşitlemek gerekebilir.

Örnek: Toplama: 2$\sqrt{3}$ + 5$\sqrt{3}$ = 7$\sqrt{3}$
Çarpma: $\sqrt{2}$ × $\sqrt{8}$ = $\sqrt{16}$ = 4

6. Köklü İfadelerde Kesirli ve Ondalıklı Sayılar

Kesirli sayılarda kök: Pay ve payda ayrı ayrı kök alınabilir, ancak payda rasyonelleştirilir (örneğin $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$).
Ondalıklı sayılarda kök: Yaklaşık değer hesaplanır veya tam sayıya dönüştürülür.

Örnek: Rasyonelleştirme: $\frac{3}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3}{\sqrt{5}}$ × $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3}{\sqrt{5}}$
Ondalık: $\sqrt{2.25}$ = 1.5 (çünkü 1.5² = 2.25)