Trigonometri 10.Sınıf

10. Sınıf Trigonometri Ders Notları

1. Trigonometrik Oranlar

Trigonometrik oranlar, dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkileri ifade eder. Bir dik üçgende, hipotenüs (karşıt kenarların toplamının karesi kökünde), dik kenarlar ve açılar vardır. Temel trigonometrik fonksiyonlar şunlardır:

• Sinüs (sin): $\frac{\text{Karşı kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
• Kosinüs (cos): $\frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
• Tanjant (tan): $\frac{\text{Karşı kenar}}{\text{Komşu dik kenar}}$

Ayrıca, kotanjant (cot), sekant (sec) ve kosekant (csc) gibi türev oranlar da vardır.

Hatırlatma: Pisagor Teoremi, dik üçgende a² + b² = c²'dir, burada c hipotenüstür. Bu, trigonometrik oranların temelini oluşturur çünkü sin²θ + cos²θ = 1 eşitliğini türetir.

Örnek: Bir dik üçgende, karşı kenar 3 cm, komşu dik kenar 4 cm ise hipotenüs kaçtır ve sinθ nedir?
Hipotenüs = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
sinθ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

2. Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki eşitliklerdir. En temel olanlar:

• sin²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = csc²θ
• tanθ * cotθ = 1

Ayrıca, toplam ve fark formülleri gibi daha gelişmiş özdeşlikler vardır, örneğin sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB.

Örnek: sinθ = $\frac{3}{5}$ ise cosθ'yi bulunuz (θ akut açı).
cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 - $\frac{9}{25}$) = √($\frac{16}{25}$) = $\frac{4}{5}$

3. Bilinen Açıların Trigonometrik Oranları

Bazı özel açılar için trigonometrik değerler ezberlenir:

• 0°: sin=0, cos=1, tan=0
• 30°: sin=$\frac{1}{2}$, cos=$\frac{\sqrt{3}}{2}$, tan=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
• 45°: sin=$\frac{\sqrt{2}}{2}$, cos=$\frac{\sqrt{2}}{2}$, tan=1
• 60°: sin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$, cos=$\frac{1}{2}$, tan=3
• 90°: sin=1, cos=0, tan=tanimsiz

Bu değerler, üçgenlerde hızlı hesaplamalar için kullanılır.

Örnek: cos60° + sin30° nedir?
cos60° = $\frac{1}{2}$, sin30° = $\frac{1}{2}$
Toplam = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 1

4. Birim Çember

Birim çember, yarıçapı 1 birim olan bir çemberdir. Merkezinde koordinat sisteminin orijini vardır. Bir açı θ için, çember üzerindeki nokta (cosθ, sinθ) koordinatlarındadır. Bu, trigonometrik fonksiyonları görselleştirmeye yardımcı olur.

Hatırlatma: Koordinat Sistemi, x ve y eksenlerinden oluşur. Birim çemberde x = cosθ, y = sinθ'dir ve x² + y² = 1 eşitliği Pisagor'dan gelir.

Örnek: Birim çemberde 45° açısı için koordinatlar nedir?
(cos45°, sin45°) = ($\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$)

5. Sinüs Teoremi

Sinüs teoremi, herhangi bir üçgende kenarlar ve karşı açılar arasındaki ilişkiyi verir: $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R, burada R çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu, iki açı ve bir kenar biliniyorsa diğer kenarları bulmak için kullanılır.

Örnek: Bir üçgende A=30°, a=5 cm, B=60° ise b kenarı nedir?
$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$
$\frac{5}{sin30°}$ = $\frac{b}{sin60°}$
$\frac{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}$ = $\frac{b}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
10 = $\frac{b}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
b = 10 * $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 53 cm

6. Kosinüs Teoremi

Kosinüs teoremi, üç kenar ve bir açı arasındaki ilişkiyi verir: c² = a² + b² - 2ab cosC. Bu, Pisagor teoreminin genelleşmesidir ve herhangi bir üçgende geçerlidir.

Örnek: a=3, b=4, C=90° ise c nedir?
c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos90° = 9 + 16 - 0 = 25
c = 5 (Pisagor ile aynı)