Üçgende Alan 10.Sınıf

10. Sınıf Üçgende Alan Ders Notları

1. Üçgenin Alanı

Üçgenin alanı, taban ve yüksekliğin çarpımının yarısıdır: Alan = $\frac{\mathrm{taban}\times \mathrm{yükseklik}}{2}$. Taban herhangi bir kenar olabilir, yükseklik ise o tabana dik inen uzunluktur. Alan, üçgenin kapladığı yüzey miktarını verir.

Hatırlatma: Alan her zaman pozitif bir değer olup, birim kare (cm², m² vb.) ile ifade edilir.

Örnek: Tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm olan bir üçgenin alanı: $\frac{8\times 5}{2}$ = 20 cm².

2. Üçgenin Yükseklik Kesim Noktaları

Üçgenin üç yüksekliği, diklik merkezinde (orthocenter) kesişir. Dar açılı üçgende içeride, dik açılıda dik köşede, geniş açılıda dışarıdadır. Yükseklikler, alan hesaplamasının temelidir ve üçgenin geometrik merkezlerini belirler.

Örnek: Dik açılı üçgende yükseklikler dik köşede kesişir. Eğer ∠A=90° ise diklik merkezi A'dır.

3. Yükseklikleri Eşit Üçgenlerin Alanlar Oranı

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunluklarının oranına eşittir. Yani, h1 = h2 ise Alan1 / Alan2 = taban1 / taban2.

Hatırlatma: Bu oran, aynı yükseklikteki üçgenlerin alanlarının tabanla doğru orantılı olduğunu gösterir.

Örnek: İki üçgenin yükseklikleri 4 cm eşit, tabanları 6 cm ve 9 cm ise alan oranı = $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$.

4. Taban Kenarları Eşit Üçgenlerin Alanlar Oranı

Taban kenarları eşit olan üçgenlerin alanları, yüksekliklerinin oranına eşittir. Yani, taban1 = taban2 ise Alan1 / Alan2 = h1 / h2.

Hatırlatma: Bu, aynı tabandaki üçgenlerin alanlarının yükseklikle doğru orantılı olduğunu vurgular.

Örnek: İki üçgenin tabanları 10 cm eşit, yükseklikleri 3 cm ve 6 cm ise alan oranı = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$.

5. Dik Üçgende Alan

Dik üçgende alan, iki dik kenarın (bacakların) çarpımının yarısıdır: Alan = $\frac{\mathrm{bacak1}\times \mathrm{bacak2}}{2}$. Hipotenüs taban olarak kullanılmaz, çünkü yükseklik bacaklardan biridir.

Örnek: Bacakları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgende alan = $\frac{5\times 12}{2}$ = 30 cm².

6. Eşkenar Üçgende Alan

Eşkenar üçgende alan, kenar uzunluğunun karesinin √3/4 katıdır: Alan = $\frac{a^2\times \sqrt{3}}{4}$, burada a kenar uzunluğudur. Yükseklik = $\frac{\sqrt{3}\times a}{2}$'dir.

Örnek: Kenarı 4 cm olan eşkenar üçgende alan = $\frac{4^2\times \sqrt{3}}{4}$ = 4√3 cm².

7. Benzerlik ve Alan

Benzer üçgenlerin alanları, benzerlik oranının karesine eşittir. Eğer benzerlik oranı k ise Alan1 / Alan2 = k². Benzerlik, açılar eşit ve kenarlar orantılı olduğunda geçerlidir.

Hatırlatma: Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır (örneğin a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k).

Örnek: Benzer iki üçgenin kenar oranı $\frac{2}{3}$ ise alan oranı = ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{4}{9}$.

8. Kenarortay ve Alan

Kenarortay, üçgeni iki eşit alanlı üçgene böler çünkü karşı kenarı orta noktada keser ve aynı yükseklik kullanılır. Alan1 = Alan2 = Toplam Alan / 2.

Örnek: Alanı 24 cm² olan üçgende bir kenarortay, iki 12 cm²'lik üçgen oluşturur.